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数学与应用数学(师范类)

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《高等数学》学习方法的见解

发布者:  时间:2018-05-03 00:00:00  浏览:

  

“数学有用,数学难学!”几乎是通识。

这里,结合作者教学经验,讲一些见解列举出来,供同学门参考,也供大家讨论。

 

第一,解决好思想上的问题  

 

1、体会到数学是思想、是方法、是工具,非常重要。

只讲数学是思想的问题。

例如:求 (sinx5)′

解:设sinx5 = sin,u=g(x)= x5 则 

        (sinx5)′ =(sinu)′(u)′ =cosu×(x5)′ = 5 x4sin x5. □

u= x5 是一个变换,它的作用是:使y= sinx5=sinu是一个基本初等函数!——变幻的思想非常重要,

u作为中介变量,连接xy  y= sinuu= x5,形式上看:xy没有关系,但实际上,“uxy沟通了!”——中介的思想非常重要,经济生活中如果没有各种中介公司,就很难正常了。

u作为中介变量,它既是自变量,又是函数。——辩证的思想,是我们科学思考的重要基础。

2、树立信心:过去没学好数学,不是自己脑筋差、不是智商低,是因为没有下功夫,或者学习的方法不对头!现在,要学好数学,就得下工夫、找方法。

例如,当遇到不明白的东西、不会做的题目:

(a) 是长时间反复思考,还是放过去了事?

(b) 是及时放下身价问别人,还是不好意思?等等。

这类看上去微不足道的差别,会导致天壤之别的学习效果!

 

第二,保证基本环节:读书、听讲

 

1、课本就是翻来翻去的,写来写去的!

一学期下来,课本依然崭新崭新的,他的成绩能好,那就很奇怪啦!

2、读书读什么?

读书,重点读什么?重点读:他怎么就想出这个方法来?我怎么就没想到?

3、听老师讲课,至关重要!

缺的、漏的尽量补上,不明白的做上记号(或思考、或问人)。

读书、听课时,多问自己二个经典问题:

① 他怎么就想到出这个方法了?

② 这个定理(性质)可以给提供什么新方法?

 

第三,保证基本做法:多问、记住、多练

 

1、多问

跟老师讨论、跟同学讨论(甚至争论)是学好数学的重要途径。那些能跟老师争论的同学,往往是学得很好的人!

经常问问自己:这个星期,我问过几个问题?跟人讨论过几次?

2、记住

先明白道理,再去做,当然很好。

但很多时候,是从先去做(模仿着做)开头的。之后,慢慢体会其道理;或者只要熟练方法,不必究其深刻道理!

例如:等到一个人真正懂得了走路的重要性、明白了走路的科学方法后,再去学走路,那他几乎不可能学会走路啦!

3、多练

上数学课,建议带个本子,感觉什么重要就记一笔、感觉老师的那句话经典就记一笔、感觉有什么不太明白就演算一下,…。本子不求写得整齐、漂亮(否则,太花时间)。一学期下来,本子写得越多、越乱,学习效果会越好!

老师讲的例题,课后一定再理一遍。

后的练习,做得越多越好!

经常问问自己:这一章的练习题总共多少个?我还剩多少没做?我们这门课上,不定积分十分典型,没有大量的练习肯定不行!

没做几个题目,数学成绩很好,那太神话啦!

第六,每学习一个知识点,就追问四个问题:

它是什么?有什么性质?是什么算法?有什么用途?

例如,极限——什么是极限?极限的基本性质有哪些?算法有哪些?可以干什么?

 

第五,多个方式表达

 

1、形和数

例如:凹函数。

数的表达似乎很深奥:“任取x1,x2∈(ab)若总有f()< ,则称f(x)在(ab)内是凹的。”

如果用图形表示(如图)那就很直观,一看就明白了.

                 

凹曲线                             凸曲线  

2、换个说法.

例如:不定积分。

原定义:f(x)的所有原函数,叫做f(x)的不定积分,记作.

换个说法:是:f(x)所有原函数所成集合。

等于:它的任一个原函数加上一任意常数。

是一种算法:是求导的逆运算。

一个新概念(新方法),你如果能有四种不同的说法,那么,你就很懂了!

相反地,老师提问“李明,请你回答:什么是函数?”李明赶紧翻书,找到函数定义,磕磕巴巴念一遍,那么,他肯定没学懂。

 

第六,培养美感 

 

数学美,是数学四大特点之一。(另三个是:高度抽象性、严密性、应用广泛性。)

培养数学的美感,可以从讲究书写格式开始。

例如:设y=f(x)=求定义域D.

分析要使y有意义,x必须满足:

      (1) 对数的底>0;用不等式表示,7-2x > 0

      (2) 开平方的底≥0;             7+x ≥0

      (3) 分母≠0                  3-≠0 

解不等式得,, 即 D= [-72) ∪(23.5) .

寻找解法时的所用表述形式,与表达解法时所采用的方式是不同的:

① 前者一般是分析法,而后者一般是综合法;

② 前者可以随意分块儿、较为凌乱,而后者具有紧凑、清晰的逻辑路线;

③ 前者可以千人千面,而后者却统一规范。

    要树立一观点:一个题目解答,就是写一篇作文。开头、过程、结尾等必须完整!格式必须符合数学的特点!

例如:求证: ex >1+xx≠0.

证明:令f(x)= ex -x-1,则f ′(x)= ex-1,x∈(-∞+∞).

 f ′(x)0x∈(-∞0]

 f(x)在(-∞0] 内单减

 f(x)>f(0)=0x∈(-∞0).

即ex -x-1>0x∈(-∞0).

 ex >x+1x∈(-∞0).

同样可证ex >x+1x∈(0,+∞).

所以,ex >1+xx≠0. □

若改成如下格式,恐怕只有水平很高的人才能看得明白了!

证明: 令f(x)= ex -x-1,则f ′(x)= ex-1,x∈(-∞+∞).  f ′(x)0x∈(-∞0].  f(x)在(-∞0] 内单减.  f(x)>f(0)=0x∈(-∞0).即ex -x-1>0x∈(-∞0). ex >x+1x∈(-∞0). 同样可证ex >x+1x∈(0,+∞). 所以,ex >1+xx≠0. □

 

第七,重要的东西,自己给它取个名字.

 

这是一个很有效的学习方法。

说二件事。第一件,养猪场有许多猪,没有哪一头有名字。但是,宠物狗却有好听的名字。第二件事,数学书上给一部分东西取了名字,这些名字给我们帮了很大的忙!如:平行、根的判别式、十字相乘法,等等。——问题是:为什么这些要取名字?那些不取名字?——答案是:(他)认为这些特别重要!

我们学习中,自己认为重要的,取上名字,有利于自己学习!

例如:f(x)=它像指数函数,又不是;它像幂函数,也不是。就叫它“幂指函数”吧。于是,好记、好用。

 

结束语:学习数学的方法一定多样,数学好的人各有各的一套办法。但是,作为普通人,一般的方法还是可找到的。需要我们多做、多想、多问,…

 

 

 

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