数学建模预备班选拔赛试题
（答案写在答题纸上，满分100分，考试时间三个小时）
1、《概率》10人中有一对夫妇，他们随意坐在一张圆桌周围，求该对夫妇正好坐在一起的概率。（8分）
2、《概率》发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”及“－”，由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台分别以概率0.8与0.2收到“·”及“－”，；又当发出信号“－”时，收报台分别以概率0.9及0.1收到“－”及“·”，求当收报台收到 “·”时，发报台确系发出信号“·”的概率，以及收到“－”时，确系发出“－”的概率。（10分）
3、《线性代数》设有四个城市，其城市之间有航班，问至多经过两次中转能否从一个城市到达其它三个城市？（10分）
4、《线性代数》设为阶矩阵，为奇数，且，求。（8分）
5、《函数》设为实数，，为上的连续函数，满足，并且对所有，有，求。（8分）
6、《最值问题》以汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物，已知每次拖4只小船一日能来回16次，每次拖7只小船则一日能来回10次，如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？（12分）
7、《微分方程》设在同一水域中生存着食草鱼和食鱼之鱼，它们的数量分别为与，不妨设与连续变化，其中鱼数受的影响而减少（大鱼吃了小鱼），减少的速率与成正比；而鱼数也受的影响而减少（小鱼吃了大鱼卵），减少的速率与成正比，如果，建立这一问题的数学模型，并求这两种鱼数的变化规律。（14分）
8、《定积分》求。（8分）
9、计算定积分，两道题目任选其一。（8分）
（1） （2）
10、《建模》某工厂生产两种产品、，分两班生产，每周生产总时间为80小时(加班除外)，两种产品的预测销售量、生产率和盈利如下表：
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产 品
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预测售量（万件/周）
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生产率（件/小时）
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单位利润（元/件）
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7
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1000
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0.15
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4.5
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1000
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0.3
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请制定一套合理的方案使每周的总利润最大，且满足下列条件：
（1）充分利用现有能力，避免设备闲置；（2）周加班时间限制在10小时以内；
（3）两种产品周生产量应满足预测销售量，满足程度的权重之比等于它们的单位利润之比；
（4）尽量减少加班时间。 （本题只建立数学模型，不求解，14分）
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